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 Enfin le problme de Fermat est resolu aprs 350 ans

         
Soufhos

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: 300
: 17/12/2007
: Berkane MAROC

: Enfin le problme de Fermat est resolu aprs 350 ans    08 2010, 09:40


Dernier thorme de Fermat




Travail de Diophante traduit du grec en latin par Claude-Gaspard Bachet de Mziriac. Cette dition du livre a t publie en 1621. La page 85 contient le problme II.VIII de Diophante, et est la page sur laquelle Pierre de Fermat crivit que la marge tait trop petite pour contenir la dmonstration.



Andrew Wiles

Le dernier thorme de Fermat, ou thorme de Fermat-Wiles, est un thorme de la thorie des nombres qui s'nonce comme suit :

Thorme il n'y a pas de nombres entiers non nuls x, y et z tels que :

xn yn=znds que n est un entier strictement suprieur 2.

Pour les valeurs de n infrieures ou gales 2, il existe une infinit de solutions. Le cas n = 1 est vident. Le cas n = 2 admet notamment la solution classique
32 42 = 52. De manire gnrale, toutes les solutions pour n = 2 sont donnes par : x=2kml, y=k(m2-l2), z=k(m2 l2), o les nombres k, l et m satisfont les conditions: k entier, m>l, m et l de parits diffrentes. On appelle parfois ces entiers les triplets pythagoriciens. Cependant, ds que n est suprieur deux, ce n'est plus possible.

Le thorme doit son nom Pierre de Fermat qui crivit en marge d'une traduction de l'Arithmetica de Diophante, la suite de l'nonc de ce problme

... Jai trouv une merveilleuse dmonstration de cette proposition, mais la marge est trop troite pour la contenir.

Aprs avoir t l'objet de fivreuses recherches pendant prs de 350 ans, n'aboutissant qu' des rsultats partiels, le thorme a finalement t dmontr en 1994 par le mathmaticien Andrew Wiles, en faisant appel des outils trs puissants de thorie des nombres : Wiles a prouv un cas particulier de la conjecture de Shimura-Taniyama-Weil, dont on savait depuis quelque temps dj, via les travaux de Yves Hellegouarch, Gerhard Frey, Jean-Pierre Serre et Ken Ribet, qu'elle impliquait le thorme. La dmonstration fait appel aux formes modulaires, aux reprsentations galoisiennes, la cohomologie galoisienne, aux reprsentations automorphes, la formule des traces

La plupart des mathmaticiens estiment aujourd'hui que Fermat s'est probablement tromp en croyant avoir dmontr sa conjecture. Cependant, rien n'interdit de penser qu'il a dcouvert une mthode ne faisant appel qu'aux mathmatiques de son poque. Certes l'espoir qu'existe une mthode de cette nature est minime ; mais certains continuent esprer qu'on parvienne un jour en dcouvrir une.

Mthode de la dmonstration

La dmonstration d'Andrew Wiles s'appuie sur de nombreux travaux antrieurs et peut se rsumer comme suit :

Associer aux solutions de l'quation de Fermat une courbe elliptique particulire (Frey, reprenant des ides d'Hellegouarch),
Dmontrer que la courbe de Frey-Hellegouarch ne peut pas tre paramtre par des fonctions modulaires (Ribet, dmontrant une conjecture de Serre),
Dmontrer que toute courbe elliptique ou une classe suffisamment importante pour contenir celle de Frey-Hellegouarch est paramtre par des fonctions modulaires : C'est la conjecture de Shimura-Taniyama-Weil, si importante en thorie des nombres.
La contradiction qui en rsulte montre que l'quation de Fermat ne peut avoir de solutions.

Les courbes elliptiques

Une courbe elliptique est une courbe d'quation de la forme :
y2 axy by = x3 cx2 dx e
Les coefficients a, b, c, d et e sont des lments du corps sur lequel est dfinie la courbe. Pour qu'une telle courbe soit effectivement une courbe elliptique, il faut que la courbe ainsi dfinie ne soit pas singulire, cest--dire qu'elle n'ait ni point de rebroussement, ni point double. Cette dernire condition s'exprime par le fait qu'un certain polynme sur les coefficients, analogue un discriminant, ne s'annule pas.

Si l'on prend l'exemple du corps des rels, alors l'quation d'une courbe elliptique dfinie sur le corps des nombres rels peut tre mise sous une forme plus simple (dite quation de Weierstrass) :

y2 = x3 ax b.
Le discriminant de cette courbe est δ = − 16(4a3 27b2). S'il est non nul, la courbe est non-singulire, et donc est vraiment une courbe elliptique.

La courbe de Frey-Hellegouarch

En 1984, Gerhard Frey, en reprenant des ides plus anciennes de Yves Hellegouarch, dmontra que les solutions de l'quation de Fermat pour n > 2, permettaient de dfinir des courbes elliptiques semi-stables aux proprits tranges ; ce sont les courbes d'quation :

y2 = x(x An)(xBn),
o An Bn = Cn est un contrexemple au thorme de Fermat.
Pour conclure, il suffit de montrer que la courbe elliptique ainsi dfinie a des proprits trop bizarres pour pouvoir exister.
Comme dans d'autres situations en mathmatiques, le fait d'intgrer le problme de Fermat dans un cadre apparemment beaucoup plus difficile constitue quand mme une avance, parce qu'on dispose alors de tout un outillage dvelopp pour ce cadre.

La dmonstration de Kenneth Ribet

En 1986, aprs pratiquement deux ans d'effort, l'Amricain Kenneth Ribet russit dmontrer une grande partie de la conjecture epsilon de Jean-Pierre Serre, dont une des consquences est que la courbe de Frey-Hellegouarch n'est pas paramtrable par des fonctions modulaires.

Il ne restait plus qu' dmontrer la conjecture de Shimura-Taniyama-Weil : Toute courbe elliptique est paramtrable par des fonctions modulaires .

Conjecture de Shimura-Taniyama-Weil
La conjecture de Shimura-Taniyama-Weil prcise que les courbes elliptiques peuvent toujours tre associes (ou paramtres ou drivent) des fonctions spciales dites modulaires (gnralisation des fonctions trigonomtriques).

Pour dmontrer cette conjecture, Andrew Wiles utilisa les notions mathmatiques suivantes :

Les fonctions L ;
Les formes modulaires ;
Les groupes de Galois absolus.

La dmonstration complte a t publie en 1995 dans Annals of Mathematics








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