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 Le secret du nombre Pi

         
Soufhos

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: 300
: 17/12/2007
: Berkane MAROC

: Le secret du nombre Pi    09 2010, 08:10



Dfinition de π


C'est le nombre par lequel il faut multiplier le diamtre du cercle pour obtenir
sa circonfrence. Autrement dit, c'est le rapport de la circonfrence du cercle par
son diamtre.Le primtre du cercle est
P= π d o d est le diamtre.
On a aussi
P = 2 π r o

r est le rayon du cercle.


Origine de la lettre π
Ce rapport de la circonfrence du cercle par son diamtre ne porta pas
de nom pendant des sicles.Ludolph von Ceulen (vers 1600), William
Oughtred (en 1647), Isaac Barrow (en 1670) utilisent la
lettre π pour dsigner le primtre d'un cercle de diamtre 1.
C'est l'anglais William Jones, en 1706, qui utilise la lettre
π

en premier pour reprsenter le rapport de la circonfrence du cercle par son diamtre.
π
est le premire lettre du mot grec "periphereia"
(circonfrence) et de "perimetros" (primtre).
Ce nom est adopt et vulgaris par le suisse
Leonhard Euler en 1748.

L'tude de π en tant que nombre
C'est seulement au XVIIme sicle que ce rapport,
pour lequel on donnait dj des valeurs approches, commence
tre considr comme un nombre.
En 1761, le suisse
Lambert dmontre que πest irrationnel,
c'est dire qu'on ne pourra jamais l'crire sous la forme d'une fraction
de deux nombres entiers.
En 1882, l'allemand
Ferdinand von Lindemann dmontre
que π est transcendant, c'est dire qu'il n'est solution
d'aucune quation algbrique avec des coefficients entiers. Il tablit
donc enfin l'impossibilit de la fameuse "quadrature du
cercle" (problme qui se pose depuis l'Antiquit).

Les cent premires dcimales de π
π≈3.141593653589793238462643383279502
8841971693993751058209749445923078164
06286208998628034825342110679

Certaines approximations de π
Depuis l'Antiquit jusqu' aujourd'hui, on essaie de donner une approximation du nombre π.
Voici un tableau donnant une ide de l'volution de ces approximations :


Nom du mathmaticien ou de la civilisation
Valeur de π
Nombre de dcimales exactes
Date du calcul

Babylone
3 + 1/8 ≈ 3,125
1
1900


Egypte
(4/3)43,160
1
1600


Chine
3
0
1200


Bible
3
0
550


Archimde (grec)
3,14185
3
250


Hon Han Chu (chinois)
√10 ≈ 3,16
1
130


Ptolm (grec)
377/120 ≈ 3,1416
3
150


Wang Fau (chinois)
142/45 ≈ 3,15
1
250


Liu Hui (chinois)
3,14159
5
260


Tsu chung chilh (chinois)
355/113 ≈ 3,141592
6
480


Aryabhata (indien)
3,14156
4
500


Brahmagupta (indien)
√10 ≈ 3,16
1
[center]640


Alkhawarizmi(arabe)
22/7 ≈ 3,1428 ; 3,1416
3
[center]800


Fibonacci(italien)
864/275 ≈ 3,1418
3
[center]1220


Al Kashi(arabe)

16
[center]1430

Von Lauchen (allemand)
3,14159265
8
1550

Vite(franais)
3,1415926536
9
1593

Romanus (hollandais)

15
1593

Van Ceulen (hollandais)

34
1609

Grienberger

39
1630

Sharp

71
1699

Machin (anglais)

100
1706

Dase (anglais)

200
1844

Shanks (anglais)

528
1873

Wrench et Fergusson

808
1948

Reitwiestner (Etats-Unis)

2 037
1949

Genuys

10 000
1958

Wrench et Shanks

100 265
1961

Guilloud et Bouyer

1 001 250
1973

Kanada et Tamura

1 073 741 799
1994

Kanada et Takahashi


50 milliards
1997

Equipe de Kanada (Japon)


1 241 milliards
2002

On peut se demander quelle est l'utilit d'une telle recherche des dcimales du
nombre π. Il y a des intrts immdiats qui sont la recherche de
nouveaux outils mathmatiques, la mise au point d'algorithmes rapides et
un trs bon test pour juger de la puissance des ordinateurs. Mais, il y a sans
doute l'envie mme de la recherche de l'infini...

Exemples de mthodes pour trouver
une valeur de π

Le grec Archimde, en 250 avant JC, est le premier donner une faon de
calculer π. Il a crit un trait sur la mesure du cercle o il calcule
le rapport de la circonfrence sur le diamtre.
Pour cela, il encadre un cercle par deux polygones rguliers, un qui sera inscrit

dans le cercle et un autre qui sera exinscrit. Il calcule alors le primtre
de ces deux polygones rguliers et en fait la moyenne. Plus les polygones
rguliers ont de cts, plus la prcision est grande.Archimde utilisera
des polygones de 96 cts, il trouvera les 3 premires dcimales exactes de π
Jusqu'en 1600, on continue utiliser la mthode d'Archimde
mais avec
un nombre impressionnant de cts, plus d'un million pour le hollandais
Van Ceulen en 1609.

Ensuite, on essaie de trouver des suites de nombres qui s'approchent
du nombre π. Euler, Gauss, Machin, Newton et Viteont
cherch de telles suites. L'une des plus clbres est celle de
l'allemand Leibniz, dcouverte vers 1680 :


Il devient ainsi plus facile de calculer le nombre π.

A prsent, on utilise le principe des suites, mais on bnficie de l'aide
de l'ordinateur et de sa formidable puissance de calcul

Quelques curiosits propos de π

Pour retenir les premires dcimales de π, on peut
apprendre par cur quelques lignes d'un pome et compter le
nombre de lettres de chaque mot :

π = PI, ses lettres sont un peu magiques :

Le quotient 355 / 113, dcouvert par un chinois vers 480 aprs JC, qui
donne 6 dcimales exactes est aussi un peu magique.

3 + 3 = 6 ; 5 + 1 = 6 ; 5 + 1 = 6

Les mystiques se sont toujours demand si π n'tait pas un nombre divin.

Le nombre π et la vie quotidienne
Le nombre π est celui que l'on rencontre le plus
souvent dans la vie quotidienne et dans la nature puisque tout ce
qui a une forme circulaire exige un calcul utilisant ce nombre que
ce soit une longueur, une aire ou un volume.
Or, les plantes, les plantes, les animaux, les atomes ainsi que les

constructions de l'homme ont besoin de modles qui utilisent un
moment le cercle ou l'arc de cercle et ncessitent l'usage du
nombre π
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